Systemy zapisu liczb

I. Podstawowe pozycyjne systemu liczbowego.

a) Dziesiętny system liczbowy DEC

• każdą liczbie w tym systemie zapisuje się przy pomocy dziesięciu cyfr,
• Podstawa systemu dziesiętnego (DEC) p=10,
• W zależności od pozycji w liczbie dana cyfra może mieć różną wagę w=pi w=10i

10 cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
273,49_DEC = 2*10²+7*10¹+3*10⁰+4*10^-1+9*10^-2

b) Szesnastkowy system liczbowy (Heksadecymalny) HEX

• każdą liczbie w tym systemie zapisuje się przy pomocy szesnastu cyfr,
• Podstawa systemu szesnastkowego (HEX) p=16,
• W zależności od pozycji w liczbie dana cyfra może mieć różną wagę w=pⁱ w=16ⁱ

16 cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)
123_HEX=3*16⁰+2*16¹+1*16²=291_DEC

c) Ósemkowy system liczbowy OCT

• każdą liczbie w tym systemie zapisuje się przy pomocy ośmiu cyfr,
• Podstawa systemu ósemkowego (OCT) p=8,
• W zależności od pozycji w liczbie dana cyfra może mieć różną wagę w=pⁱ w=8ⁱ

8 cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7)
123_OCT=3*8⁰+2*8¹+1*8²=83_DEC

d) Dwójkowy system liczbowy (Binarny) BIN

• każdą liczbie w tym systemie zapisuje się przy pomocy dwóch cyfr,
• Podstawa systemu binarnego (BIN) p=2,
• W zależności od pozycji w liczbie dana cyfra może mieć różną wagę w=pi w=2i

2 cyfry (0,1)
1011_BIN=1*2⁰+1*2¹+0*2²+1*2³=11_DEC

Tabela zawierająca skonwertowane wartości liczb DEC z zakresu od 0 do 15:

II. Konwersja

a) BIN->DEC, OCT->DEC, HEX->DEC

Konwersja ta polega na mnożeniu cyfr z ich wagami i następnym zsumowaniu otrzymanych wyników.Wagę obliczamy ze wzoru W = pi

• wag,
• podstawa,
• pozycja cyfry (zaczynając numeracje od zera)

Przykład konwersji BIN->DEC, OCT->DEC, HEX->DEC:

b) DEC->BIN, DEC->OCT, DEC->HEX

Aby dokonać konwersji liczby z systemu dziesiętnego na dowolnie inny system należy podzielić liczbę dziesiętną przez podstawę systemu na jaki konwertujemy. Po operacji dzielenia otrzymamy wynik wraz z resztą dzielenia. Wynik dzielenia jest używany do kolejnego dzielenia przez podstawę natomiast reszta z dzielenia tworzy wynik konwersji, operacje dzielenia powtarza się do momentu aż wynik będzie równy 0.

Przykład konwersji DEC->BIN, DEC->OCT, DEC->HEX:

c) BIN->HEX, BIN->OCT

W przypadku konwersji BIN->HEX bity liczby BIN grupujemy w pół bajty (kęsy) poczynając od LSB. Każdy pół bajt zapisujemy osobno jako cyfrę HEX. W przypadku konwersji BIN->OCT postępujemy podobnie z tym że używamy trzech bitów.

d) HEX->BIN, OCT->BIN

W przypadku konwersji HEX->BIN każda cyfrę liczby HEX zapisujemy w postaci czterobitowej. Jeśli konwertujemy OCT->BIN kolejne cyfry zapisujemy w postaci trzy bitowej.

Przykład konwersji HEX->BIN, OCT->BIN:

III. Podstawowe kody

a) Kod dwójkowo-dziesiętny BCD

W Kodzie BCD każdą cyfrę liczby dziesiętnej zapisuje się w postaci dwójkowej czterobitowej oddzielnie. Kod ten używany jest w przypadkach gdy zachodzi potrzeba posługiwania się cyframi dziesiętnymi np. w celu wyświetlenia liczby DEC na wyświetlaczu.

Przykład zapisu w kodzie BCD:

b) Kod znak – moduł Z-M

Najstarszy bit jest znakiem liczby pozostałe bity decydują o wartości liczby.

Przykład zapisu w kodzie znak – moduł:

c) Kod uzupełnienie do dwóch U-2

Aby zamienić dodatnią liczbę dziesiętna na U-2 kodujemy ją tak samo jak w kodzie Z-M np. +3DEC to 0011U-2, natomiast jeśli liczba jest ujemna postępujemy według następującego algorytmu:

• wartość bezwzględną liczby zapisujemy przy pomocy tylu bitów iloma dysponujemy (Krok 1),
• negujemy wszystkie bity otrzymanej liczby (Krok 2),
• do otrzymanej liczby dodajemy jeden (Krok 3).

d) Kod 1zN

Aby zamienić liczbę DEC na kod 1zN należy przypisać wartość jeden bitowi, który jest wskazywany przez wartość liczby DEC.

Przykładowe konwersje w przypadku kodu 1z10:

e) Pozostałe kody

Kod Graya dwie sąsiednie liczby kodowe różnią się jedynie na jednej pozycji. Kod wykorzystuje się w celu uniknięcia błędów podczas odczytu danych z poruszającego się nośnika,

• Kod 2z5 jest wykorzystywany przede wszystkim do transmisji danych (pozwala na detekcje błędu który może powstać na skutek zakłóceń),
• Kod Hamminga pozwala na detekcje błędu powstałego podczas transmisji danych i jego usunięcie.
• Kod Johnsona jest to odmiana kodu BCD łatwo ją dekodować,
• Kod Aikena jest odmiana kodu BCD wykorzystuje się go przy operacjach matematycznych.

Teksty źródłowe:

• Andrzej Rydzewski: Mikrokontrolery jednoukładowe rodziny MCS-51. Warszawa, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne 1999.
• Wojciech Głocki: Układy cyfrowe.Warszawa,Wydawnictowo Szkolne i Pedagogiczne 1998.